z-test Beregner

Hvad er z-testen

Z-testen er en hypotesetest, der sammenligner gennemsnittet af en stikprøve med en kendt referenceværdi. Den svarer på et direkte spørgsmål: er forskellen mellem det gennemsnit, du har observeret, og den forventede værdi stor nok til at være reel, eller kan det blot være tilfældig variation hos dem, der kom med i stikprøven?

Z-testens kendetegn er en forudsætning: du skal kende populationens standardafvigelse (repræsenteret med det græske bogstav σ, sigma). Ikke stikprøvens standardafvigelse — men den i hele den population, stikprøven kommer fra. Den viden er det, der gør det muligt at bruge standardnormalfordelingen direkte til at beregne sandsynlighederne uden korrektion.

Bag navnet ligger z-scoren: ideen, der er central i al statistik, om at måle en afstand i "antal standardafvigelser". Z-testen anvender det samme begreb på stikprøvens gennemsnit. Når resultatet ligger langt fra referenceværdien — målt i standardfejl — bliver det usandsynligt, at afstanden er opstået ved tilfældighed.

Hvornår skal man bruge z-testen

Z-testen for et gennemsnit er den rigtige procedure, når to betingelser er opfyldt:

• Populationens standardafvigelse er kendt. Det er mere almindeligt, end man tror: standardiserede psykometriske tests (IQ, store eksamener), kalibrerede måleinstrumenter og veldokumenterede industriprocesser har typisk et σ, som er fastlagt ud fra mange års historiske data.
• Stikprøven kommer fra en tilnærmelsesvis normalfordelt population — eller er stor. Med en stor stikprøve (typisk n over ~30) sikrer den centrale grænseværdisætning, at stikprøvegennemsnittet følger nogenlunde en normalfordeling, selv hvis de oprindelige data ikke er normale.

z-test eller t-test?

Det er det mest almindelige spørgsmål — og svaret er enkelt. De to tests sammenligner gennemsnit og følger samme logik; forskellen ligger i, hvor standardafvigelsen kommer fra:

• Z-test — bruger populationens standardafvigelse (σ), behandlet som et fast og kendt tal. Sandsynlighederne kommer fra standardnormalfordelingen.
• T-test — bruger standardafvigelsen estimeret fra stikprøven (s). Da det estimat bærer en usikkerhed, anvender t-testen t-fordelingen, der ligner normalfordelingen, men har lidt bredere haler — mere konservativ.

I praksis er populationens standardafvigelse næsten aldrig kendt, og derfor er t-testen (Student) den, der bruges mest i dagligdagens forskning. Z-testen er reserveret til de tilfælde, hvor σ virkelig er kendt. Der er også et beroligende punkt: efterhånden som stikprøven vokser, nærmer t-fordelingen sig normalfordelingen mere og mere. Med store stikprøver giver z- og t-tests praktisk talt identiske resultater.

Sådan virker beregningen

Z-testen for et gennemsnit har tre trin. Først er der standardfejlen af gennemsnittet — hvor meget tilfældig variation der kan forventes fra én stikprøve til en anden. Den er populationens standardafvigelse divideret med kvadratroden af stikprøvestørrelsen:

Andet trin er z-statistikken: afstanden mellem stikprøvens gennemsnit (x̄) og sammenligningsværdien (μ₀), målt i antal standardfejl.

Tredje trin er at oversætte z til en p-værdi. Her kommer standardnormalfordelingen ind, og dens fordelingsfunktion, repræsenteret med Φ (det græske bogstav fi). Φ(z) angiver sandsynligheden for, at standardnormalfordelingen ligger under z. P-værdien kombinerer det med typen af test:

I den tosidede test spørger du, om gennemsnittet simpelthen er forskelligt fra referenceværdien. I den ensidede test spørger du, om det er større (eller mindre) — og p-værdien er halvdelen af den tosidede. Beregneren returnerer også den kritiske z, grænseværdien i normalfordelingen for det valgte konfidensniveau: ved 95% tosidet er den cirka 1,96.

Sådan fortolker du resultatet

Beregneren returnerer seks nøgletal. Her er, hvad hvert af dem betyder:

• z-statistik — forskellen mellem gennemsnittet og sammenligningsværdien, i antal standardfejl.
• P-værdi — sandsynligheden for at observere en så stor forskel ved tilfældighed. Hvis den er mindre end signifikansniveauet (α, typisk 0,05), er resultatet signifikant.
• Standardfejl — den tilfældige variation, der kan forventes i estimatet af gennemsnittet.
• Gennemsnit af stikprøven — punktestimatet: dit bedste gæt på det sande gennemsnit ud fra dine data.
• Kritisk z — grænseværdien i normalfordelingen for det valgte konfidensniveau. Hvis det beregnede |z| overstiger den, er resultatet signifikant.
• Konfidensinterval — det sandsynlige interval for populationens sande gennemsnit. Hvis sammenligningsværdien μ₀ ligger uden for intervallet, er forskellen signifikant.

P-værdi og konfidensinterval fortæller samme historie ad to veje. P-værdien sammenligner en sandsynlighed med α; intervallet viser intervallet af plausible værdier. Når μ₀ falder uden for intervallet, ligger p-værdien under α — de to er altid enige.

Løst eksempel

En skole gennemfører en standardiseret IQ-test i en klasse på 60 elever. Det observerede gennemsnit blev 104. Testen er standardiseret til at have et populationsgennemsnit på 100 og en standardafvigelse på 15 — altså er σ kendt. Har klassen et gennemsnit, der adskiller sig fra populationsreferencen?

1. Standardfejl: SF = 15 ÷ √60 ≈ 1,936.
2. z-statistik: z = (104 − 100) ÷ 1,936 ≈ 2,07.
3. Tosidet p-værdi for z = 2,07: ≈ 0,039.
4. 95% konfidensinterval for gennemsnittet: 104 ± 1,96 · 1,936, altså fra ≈ 100,2 til ≈ 107,8.

Da 0,039 < 0,05, er forskellen statistisk signifikant ved 95% konfidens: klassen har faktisk en gennemsnits-IQ over populationsreferencen. Bemærk, at værdien 100 ligger uden for konfidensintervallet — de to kriterier er enige. Brug knappen "Brug eksempeldata" for at se beregningen i beregneren.

Ofte stillede spørgsmål